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Soient $G$ un groupe et $x, y\in G$ des éléments qui commutent et d’ordres respectifs $m$ et $n$ premiers entre eux. Montrer que $xy$ est d’ordre $mn.$ Montrer que l’hypothèse $m$ et $n$ premiers entre eux est indispensable.

Montrer que $A:=\left(\begin{smallmatrix} 0&-1\\1&0 \end{smallmatrix}\right)$ et $B:=\left(\begin{smallmatrix} 0&1\\-1&-1\end{smallmatrix}\right)$ sont des éléments de $\text{GL}(2,\Rr)$ d’ordres finis et que $AB$ n’est pas d’ordre fini.