1
Soient \(G\) un groupe et \(x, y\in G\) des éléments qui commutent et d’ordres respectifs \(m\) et \(n\) premiers entre eux. Montrer que \(xy\) est d’ordre \(mn.\) Montrer que l’hypothèse \(m\) et \(n\) premiers entre eux est indispensable.
2
Montrer que \(A:=\left(\begin{smallmatrix} 0&-1\\1&0 \end{smallmatrix}\right)\) et \(B:=\left(\begin{smallmatrix} 0&1\\-1&-1\end{smallmatrix}\right)\) sont des éléments de \(\text{GL}(2,\Rr)\) d’ordres finis et que \(AB\) n’est pas d’ordre fini.