Dire si les couples suivants sont des groupes : \((\Z,+)\) ; \((\Z,\times)\) ; \((\C^*,+)\) ; \((\C^*, \times)\).
Déterminer une loi de composition interne pour laquelle \(\{-1,1\}\) est un groupe. Même question avec \(\R\times\R\).
Soit \((G,\star)\) un groupe et \(E\) un ensemble. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{A}(E,G)\) des applications de \(E\) dans \(G\) peut être muni d’une structure naturelle de groupe.
L’ensemble \(\{a,b,c\}\) muni de la loi de composition interne définie par la table \[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \star& a&b&c\\ \hline a&a&b&c\\ \hline b&b&a&b\\ \hline c& c& b&a\\\hline \end{array}\] admet-il un élément neutre ? est-il commutatif ? tout élément admet-il un symétrique ? est-il un groupe ?
La réunion de deux sous-groupes d’un groupe \(G\) est-elle un sous-groupe ? Et l’intersection ?
Donner l’exemple d’un ensemble avec une loi de composition interne sans élément neutre.