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Dire si les couples suivants sont des groupes : $(\Z,+)$ ; $(\Z,\times)$ ; $(\C^*,+)$ ; $(\C^*, \times)$.

Déterminer une loi de composition interne pour laquelle $\{-1,1\}$ est un groupe. Même question avec $\R\times\R$.

Soit $(G,\star)$ un groupe et $E$ un ensemble. Montrer que l’ensemble $\mathcal{A}(E,G)$ des applications de $E$ dans $G$ peut être muni d’une structure naturelle de groupe.

L’ensemble $\{a,b,c\}$ muni de la loi de composition interne définie par la table $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \star& a&b&c\\ \hline a&a&b&c\\ \hline b&b&a&b\\ \hline c& c& b&a\\\hline \end{array}$$ admet-il un élément neutre ? est-il commutatif ? tout élément admet-il un symétrique ? est-il un groupe ?

La réunion de deux sous-groupes d’un groupe $G$ est-elle un sous-groupe ? Et l’intersection ?

Donner l’exemple d’un ensemble avec une loi de composition interne sans élément neutre.