On désigne par \(K\) le sous-ensemble \(\{ id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\) de \(S_4 .\)
1
Montrer que \(K\) est un sous-groupe distingué de \(S_4\) et de \(A_4 .\)
2
Pour quelle raison \(K\) est-il isomorphe à \(\Z /2\Z \times \Z /2\Z ?\) Calculer le quotient \(A_4/K .\)
3
Montrer que le quotient \(S_4/K\) est isomorphe à \(S_3 .\)
4
Donner un exemple de sous groupe distingué de \(K\) et non de \(S_4 .\) Quelle conclusion peut-on en tirer ?