L2 Algèbre Groupe, anneau, corps 4 questions

exo7 1416

On désigne par KK le sous-ensemble {id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}\{ id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\} de S4.S_4 .

1

Montrer que KK est un sous-groupe distingué de S4S_4 et de A4.A_4 .

2

Pour quelle raison KK est-il isomorphe à Z/2Z×Z/2Z?\Z /2\Z \times \Z /2\Z ? Calculer le quotient A4/K.A_4/K .

3

Montrer que le quotient S4/KS_4/K est isomorphe à S3.S_3 .

4

Donner un exemple de sous groupe distingué de KK et non de S4.S_4 . Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Exercice vPhl

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