Par le théorème chinois, $\begin{aligned} (X-3)(X-5)=0\pmod{221}&\iff& \left\{\begin{array}{c}(X-3)(X-5)=0\pmod{13} \\ (X-3)(X-5)=0\pmod{17}.\end{array}\right. \end{aligned}$ Puisque $13$ et $17$ sont premiers, par le lemme d’Euclide, $\begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}(X-3)(X-5)=0\pmod{13} \\ (X-3)(X-5)=0\pmod{17}.\end{array}\right.\\ &\iff\left\{\begin{array}{c} (X=3\pmod{13}\quad\text{ou}\quad X=5\pmod{13})\\ \quad \text{ et } \quad (X=3\pmod{17}\quad\text{ou}\quad X=5\pmod{17})\end{array}\right.\\ &\iff \left\{\begin{array}{ccc} X=3\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=3\pmod{17}\\ &\quad\text{ou}\quad&\\ X=3\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=5\pmod{17}\\ &\quad\text{ou}\quad&\\ X=5\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=3\pmod{17}\\ &\quad\text{ou}\quad&\\ X=5\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=5\pmod{17}\\ \end{array}\right.\\ &\iff X=3\pmod{221}\quad\text{ou}\quad X=107\pmod{221}\\ &\phantom{\iff{}}\quad\text{ou}\quad X=122\pmod{221}\quad\text{ou}\quad X=5\pmod{221}. \end{align*}$ Les solutions entières de l’équation $(X-3)(X-5)=0\pmod{221}$ sont les entiers congrus à $3$ , $107$ , $122$ ou $5$ modulo $221$ .

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