Par le théorème chinois, \[\begin{aligned} (X-3)(X-5)=0\pmod{221}&\iff& \left\{\begin{array}{c}(X-3)(X-5)=0\pmod{13} \\ (X-3)(X-5)=0\pmod{17}.\end{array}\right.\end{aligned}\] Puisque \(13\) et \(17\) sont premiers, par le lemme d’Euclide, \[\begin{aligned} \lefteqn{\left\{\begin{array}{c}(X-3)(X-5)=0\pmod{13} \\ (X-3)(X-5)=0\pmod{17}.\end{array}\right.}\\ &\iff&\left\{\begin{array}{c} (X=3\pmod{13}\quad\text{ou}\quad X=5\pmod{13})\\ \quad \text{ et } \quad (X=3\pmod{17}\quad\text{ou}\quad X=5\pmod{17})\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{ccc} X=3\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=3\pmod{17}\\ &\quad\text{ou}\quad&\\ X=3\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=5\pmod{17}\\ &\quad\text{ou}\quad&\\ X=5\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=3\pmod{17}\\ &\quad\text{ou}\quad&\\ X=5\pmod{13}&\quad \text{ et } \quad &X=5\pmod{17}\\ \end{array}\right.\\ &\iff&X=3\pmod{221}\quad\text{ou}\quad X=107\pmod{221}\\ &&\quad\text{ou}\quad X=122\pmod{221}\quad\text{ou}\quad X=5\pmod{221}.\end{aligned}\] Les solutions entières de l’équation \((X-3)(X-5)=0\pmod{221}\) sont les entiers congrus à \(3\), \(107\), \(122\) ou \(5\) modulo \(221\).

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