On considère le groupe symétrique \(S_n\).
Déterminer \(\text{card}(S_{n})\).
Calculer \((3 4) (4 5) (2 3) (1 2) (5 6) (2 3) (4 5) (3 4) (2 3)\).
Rappel: la permutation \(\sigma= \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \\ a_{2} & a_{3} & \dots & a_{1} \end{pmatrix}\) est un cycle de longueur \(k\), que l’on note \((a_{1}\; a_{2} \dots a_{k})\).
Si \(\tau\in S_n\), montrer que \(\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(a_{1})\; \tau(a_{2}) \dots \tau(a_{k}))\).
Rappel: toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, et cette décomposition est unique à l’ordre près.
Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints: \(\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 3&4&5&1&2 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&1&2&3&4&5 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 6&2&5&7&8&1&3&4 \end{pmatrix}\)
Rappel: il existe un unique morphisme de \(S_n\) dans \((\{-1,1\},\times)\) non trivial, appelé signature, et noté \(\epsilon\). Une manière de calculer \(\epsilon(\tau)\) (où \(\tau\in S_n\)) consiste à décomposer \(\tau\) en produit de \(p\) transpositions (ie cycles de longueur 2): alors \(\epsilon(\tau)=(-1)^p\).
Montrer que la signature d’un cycle de longueur \(k\) vaut \((-1)^{k-1}\). En déduire comment se calcule la signature d’une permutation à partir de sa décomposition en produit de cycles disjoints.