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Déterminer $\text{card}(S_{n})$.

Calculer $(3 4) (4 5) (2 3) (1 2) (5 6) (2 3) (4 5) (3 4) (2 3)$.

Rappel: la permutation $\sigma= \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \\ a_{2} & a_{3} & \dots & a_{1} \end{pmatrix}$ est un cycle de longueur $k$, que l’on note $(a_{1}\; a_{2} \dots a_{k})$.

Si $\tau\in S_n$, montrer que $\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(a_{1})\; \tau(a_{2}) \dots \tau(a_{k}))$.

Rappel: toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, et cette décomposition est unique à l’ordre près.

Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints: $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 3&4&5&1&2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&1&2&3&4&5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 6&2&5&7&8&1&3&4 \end{pmatrix}$

Rappel: il existe un unique morphisme de $S_n$ dans $(\{-1,1\},\times)$ non trivial, appelé signature, et noté $\epsilon$. Une manière de calculer $\epsilon(\tau)$ (où $\tau\in S_n$) consiste à décomposer $\tau$ en produit de $p$ transpositions (ie cycles de longueur 2): alors $\epsilon(\tau)=(-1)^p$.

Montrer que la signature d’un cycle de longueur $k$ vaut $(-1)^{k-1}$. En déduire comment se calcule la signature d’une permutation à partir de sa décomposition en produit de cycles disjoints.