Soient \(K, \mathbb{L}\) deux corps avec \(K \subset \mathbb{L}\).
Un élément \(\alpha \in \mathbb{L}\) est dit algébrique sur \(K\) s’il existe un polynôme non nul \(P \in K[X]\) tel que \(P(\alpha) = 0\).
1
Montrer que \(\alpha\) est algébrique sur \(K\) si et seulement si \(K[\alpha]\) est un \(K\)-ev de dimension finie.
2
On suppose que \(\alpha\) et \(\beta\) sont algébriques sur \(K\). Montrer que \(\alpha + \beta\) et \(\alpha\beta\) sont algébriques sur \(K\) (étudier \(K[\alpha,\beta]\)).