L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 1339

Soient EE un espace vectoriel réel de dimension 2 et (e1,e2)(e_1,e_2) une base de E.E. On considère les endomorphismes de EE définis par s(e1)=e1,s(e2)=−e2,{s(e_1)=e_1,\quad s(e_2)=-e_2,} r(e1)=e2,r(e2)=−e1.{r(e_1)=e_2,\quad r(e_2)=-e_1.}

1

Montrer que rr et ss sont des automorphismes du R\Rr-espace vectoriel E.E.

2

Déterminer l’ordre de ss et l’ordre de r.r.

3

Montrer que sr=−rs.sr=-rs.

4

En déduire que G:={IdE,s,r,sr,−IdE,−s,−r,−s}G:=\left\{\text{Id}_E,s,r,sr,-\text{Id}_E,-s,-r,-s\right\} est un sous-groupe du groupe linéaire de E.E.

5

Montrer que GG est le sous-groupe du groupe linéaire GL(E)\text{GL}(E) engendré par ss et t.t.

Exercice WiV7

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