Soient \(E\) un espace vectoriel réel de dimension 2 et \((e_1,e_2)\) une base de \(E.\) On considère les endomorphismes de \(E\) définis par \[{s(e_1)=e_1,\quad s(e_2)=-e_2,}\] \[{r(e_1)=e_2,\quad r(e_2)=-e_1.}\]
1
Montrer que \(r\) et \(s\) sont des automorphismes du \(\Rr\)-espace vectoriel \(E.\)
2
Déterminer l’ordre de \(s\) et l’ordre de \(r.\)
3
Montrer que \(sr=-rs.\)
4
En déduire que \(G:=\left\{\text{Id}_E,s,r,sr,-\text{Id}_E,-s,-r,-s\right\}\) est un sous-groupe du groupe linéaire de \(E.\)
5
Montrer que \(G\) est le sous-groupe du groupe linéaire \(\text{GL}(E)\) engendré par \(s\) et \(t.\)