1
On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\) est \(X^2+X+1\). Montrer que le polynôme \(X^4+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\).
2
On note \(A:=\mathbb{F}_2[X]/<X^4+X+1>\) l’anneau quotient de \(\mathbb{F}_2[X]\) par l’idéal engendré par \(P\). La classe de \(3X^5+X^2+X+7\) est-elle nulle dans \(A\) ? L’anneau \(A\) est-il un corps ? Combien a-t-il d’éléments ?
3
On note \(\alpha\) la classe du polynôme \(X\) dans \(A\). Déterminer \(\alpha^4\) et \(\alpha^{15}\) comme polynômes de degré au plus \(3\) en \(\alpha\).
4
Le polynôme \(X^{15}-1\) est-il un multiple de \(X^4+X+1\) dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?