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On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré $2$ sur $\mathbb{F}_2$ est $X^2+X+1$. Montrer que le polynôme $X^4+X+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$.

On note $A:=\mathbb{F}_2[X]/<X^4+X+1>$ l’anneau quotient de $\mathbb{F}_2[X]$ par l’idéal engendré par $P$. La classe de $3X^5+X^2+X+7$ est-elle nulle dans $A$ ? L’anneau $A$ est-il un corps ? Combien a-t-il d’éléments ?

On note $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans $A$. Déterminer $\alpha^4$ et $\alpha^{15}$ comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$.

Le polynôme $X^{15}-1$ est-il un multiple de $X^4+X+1$ dans $\mathbb{F}_2[X]$ ?