Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi interne \(\star\). On appelle translation à droite (resp. à gauche) par \(a\in E\), l’application \(d_{a}\) (resp. \(g_{a})\) de \(E\) dans \(E\) définie par \(d_{a}(x)=a\star x\) (resp. \(g_{a}(x)=x\star a\)).
Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.
Réciproquement, si la loi \(\star\) de \(E\) est associative, et que les translations à droite et à gauche sont des bijections, on va montrer que \((E,\star)\) est un groupe.
Montrer que pour tout \(x\in E\), il existe un unique élément \(e_{x}\in E\) (resp. \(f_{x}\in E\)) tel que \(e_{x}\star x=x\) (resp. \(x\star f_{x}=x\)).
Si \(x,y \in E\), montrer que \(e_{x}=e_{y}\) (noté \(e\) dorénavant) et \(f_{x}=f_{y}\) (noté \(f\) dorénavant).
Montrer que \(e=f\) (noté \(e\) dorénavant).
Montrer que pour tout \(x\in E\), il existe un unique élément \(\bar{x}\in E\) (resp. \(\bar{\bar{x}}\in E\)) tel que \(\bar{x}\star x=e\) (resp. \(x\star\bar{\bar{x}}=e\)).
Montrer que \(\bar{x}=\bar{\bar{x}}\).
Conclure.