exo7 1329

Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.

Réciproquement, si la loi $\star$ de $E$ est associative, et que les translations à droite et à gauche sont des bijections, on va montrer que $(E,\star)$ est un groupe.

Montrer que pour tout $x\in E$, il existe un unique élément $e_{x}\in E$ (resp. $f_{x}\in E$) tel que $e_{x}\star x=x$ (resp. $x\star f_{x}=x$).

Si $x,y \in E$, montrer que $e_{x}=e_{y}$ (noté $e$ dorénavant) et $f_{x}=f_{y}$ (noté $f$ dorénavant).

Montrer que $e=f$ (noté $e$ dorénavant).

Montrer que pour tout $x\in E$, il existe un unique élément $\bar{x}\in E$ (resp. $\bar{\bar{x}}\in E$) tel que $\bar{x}\star x=e$ (resp. $x\star\bar{\bar{x}}=e$).

Montrer que $\bar{x}=\bar{\bar{x}}$.

Conclure.