Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).
1
Montrer que \((G,\Delta)\) est un groupe commutatif.
2
Pour \(a \in E\), on note \({\phi_a} : G \to {\Z/2\Z}\) définie par \(\begin{cases} X &{\dot 0 \text{ si } a \notin X}\cr X &{\dot 1 \text{ si } a \in X}\cr\end{cases}\).
Montrer que \(\phi_a\) est un morphisme de groupes.
3
On prend \(E = \{1,\dots, n\}\) et on note \[\begin{align*} \Phi : G &\to {\bigl({\Z/2\Z}\bigr)^n}, \\ X &\mapsto (\phi_1(X),\dots,\phi_n(X)) . \end{align*}\] Montrer que \(\Phi\) est un isomorphisme de groupes.