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Montrer que $(G,\Delta)$ est un groupe commutatif.

Pour $a \in E$, on note ${\phi_a} : G \to {\Z/2\Z}$ définie par $\begin{cases} X &{\dot 0 \text{ si } a \notin X}\cr X &{\dot 1 \text{ si } a \in X}\cr\end{cases}$.

Montrer que $\phi_a$ est un morphisme de groupes.

On prend $E = \{1,\dots, n\}$ et on note $$\begin{align*} \Phi : G &\to {\bigl({\Z/2\Z}\bigr)^n}, \\ X &\mapsto (\phi_1(X),\dots,\phi_n(X)) . \end{align*}$$ Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme de groupes.