\({\cal A}_4\) désigne le groupe des permutations paires sur l’ensemble \(E=\left\{ 1,2,3,4\right\} .\)
1
Quels sont les ordres des éléments de \({\cal A}_4\) ? En déduire la liste de ces éléments sous forme décomposée en produit de cycles à supports disjoints.
2
Montrer que les permutations \(s=(1\;2)(3\;4)\) et \(r=(1\;2\;3)\) engendrent \({\cal A}_4.\)
3
Montrer que \({\cal A}_4\) admet un unique sous-groupe \(H\) d’ordre 4 (on examinera d’abord les ordres des éléments d’un tel sous-groupe) et que ce sous-groupe est un sous-groupe distingué de \({\cal A}_4\).