OpenYourMath

Soit $K$ un corps fini. Pour $x\in K^*$ on note $O(x)$ l’ordre multiplicatif de $x$ et $n$ le ppcm des ordres des éléments de $K^*$ .

Soient $a,b\in\N^*$ . Montrer qu’il existe $a',b'\in\N^*$ tels que $a'|a$ , $b'|b$ , $a'\wedge b' = 1$ et $a'b' = a\vee b$ .

Soient $x,y\in K^*$ d’ordres $a$ et $b$ . Montrer qu’il existe $u,v$ entiers tels que $O(x^uy^v) = a\vee b$ . En déduire qu’il existe $z\in K^*$ d’ordre $n$ .