Soit \(K\) un corps fini. Pour \(x\in K^*\) on note \(O(x)\) l’ordre multiplicatif de \(x\) et \(n\) le ppcm des ordres des éléments de \(K^*\).
1
Soient \(a,b\in\N^*\). Montrer qu’il existe \(a',b'\in\N^*\) tels que \(a'|a\), \(b'|b\), \(a'\wedge b' = 1\) et \(a'b' = a\vee b\).
2
Soient \(x,y\in K^*\) d’ordres \(a\) et \(b\). Montrer qu’il existe \(u,v\) entiers tels que \(O(x^uy^v) = a\vee b\). En déduire qu’il existe \(z\in K^*\) d’ordre \(n\).
3
Montrer que \(n=\mathrm{Card}\,( K^*)\) (ceci prouve que \(K^*\) est cyclique).