Une permutation de l’ensemble de \(n\) éléments \(\{1,2,\ldots,n\}\) est une bijection de cet ensemble dans lui-même. Il est commode de désigner une telle permutation \(s\) par le tableau de valeurs suivant : \(s= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2&\cdots&n\\ s(1)&s(2)&\cdots&s(n) \end{array}\right)\). On note \(\frak{S}_n\) l’ensemble de ces permutations pour \(n\) donné.
Écrire les éléments de \(\frak{S}_2\) et de \(\frak{S}_3\).
Établir les tables de composition de ces deux ensembles.
De la table de \(\frak{S}_3\) on peut extraire des parties stables ne faisant intervenir que certains éléments ; lesquelles ? Peut-on les trouver toutes.
Voyez-vous des analogies (totales ou partielles) entre ces tables et des situations rencontrées plus haut ?
On peut obtenir tous les éléments de \(\frak{S}_3\) à partir de la composition de certains d’entre-eux ; lesquels ?
Combien d’éléments possède \(\frak{S}_n\) ? Combien de cases contient la table de composition de \(\frak{S}_4\), \(\frak{S}_5,\ldots\) ? Pourrait-on étudier \(\frak{S}_4\) et \(\frak{S}_5\) à partir de ces tables ?