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Une permutation de l’ensemble de $n$ éléments $\{1,2,\ldots,n\}$ est une bijection de cet ensemble dans lui-même. Il est commode de désigner une telle permutation $s$ par le tableau de valeurs suivant : $s= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2&\cdots&n\\ s(1)&s(2)&\cdots&s(n) \end{array}\right)$. On note $\frak{S}_n$ l’ensemble de ces permutations pour $n$ donné.

Écrire les éléments de $\frak{S}_2$ et de $\frak{S}_3$.

Établir les tables de composition de ces deux ensembles.

De la table de $\frak{S}_3$ on peut extraire des parties stables ne faisant intervenir que certains éléments ; lesquelles ? Peut-on les trouver toutes.

Voyez-vous des analogies (totales ou partielles) entre ces tables et des situations rencontrées plus haut ?

On peut obtenir tous les éléments de $\frak{S}_3$ à partir de la composition de certains d’entre-eux ; lesquels ?

Combien d’éléments possède $\frak{S}_n$ ? Combien de cases contient la table de composition de $\frak{S}_4$, $\frak{S}_5,\ldots$ ? Pourrait-on étudier $\frak{S}_4$ et $\frak{S}_5$ à partir de ces tables ?