Soit \(K\) un corps, \(E\) un ensemble fini, et \(A = K^E\). Pour \(e \in E\), on pose : \[I_e = \{ f \in A \text{ tq } f(e) = 0 \}, \qquad \chi_e\ :\ x \mapsto \begin{cases} 1 &si x=e\cr 0 &\text{ si } x\ne e.\end{cases}\]
1
Montrer que \(I_e\) est un idéal principal de A.
2
Soit \(f \in A\). Vérifier que \(f = \sum_{e\in E} f(e)\chi_e\).
3
Soit \(I\) un idéal quelconque de \(A\), et \(F = \{ e \in E \text{ tq } \exists\ f \in I \text{ tq } f(e) \ne 0\}\).
Montrer que \(I\) est un idéal principal engendré par \(\sum_{e\in F}\chi_e\).