L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 3017

Soit KK un corps, EE un ensemble fini, et A=KEA = K^E. Pour e∈Ee \in E, on pose : Ie={f∈A tq f(e)=0},χe : x↦{1six=e0 si x≠e.I_e = \{ f \in A \text{ tq } f(e) = 0 \}, \qquad \chi_e\ :\ x \mapsto \begin{cases} 1 &si x=e\cr 0 &\text{ si } x\ne e.\end{cases}

1

Montrer que IeI_e est un idéal principal de A.

2

Soit f∈Af \in A. Vérifier que f=∑e∈Ef(e)χef = \sum_{e\in E} f(e)\chi_e.

3

Soit II un idéal quelconque de AA, et F={e∈E tq ∃ f∈I tq f(e)≠0}F = \{ e \in E \text{ tq } \exists\ f \in I \text{ tq } f(e) \ne 0\}.

Montrer que II est un idéal principal engendré par ∑e∈Fχe\sum_{e\in F}\chi_e.

Exercice RANV

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