exo7 2729

Montrer que les ensembles $G$ suivants, munis des lois $\star$ données, sont des groupes. Préciser quel est l’élément neutre de $G$ et quel est l’inverse d’un élément quelconque $x\in G$.

$G = \mathbb{Z}$, $\star =$ l’addition des nombres ;

$G = \mathbb{Q}^{*}$ (ensemble des rationnels non nuls), $\star =$la multiplication des nombres ;

$G = \mathbb{Q}^{+*}$ (ensemble des rationnels strictement positifs), $\star =$ la multiplication des nombres ;

$G = \mathbb{R}$, $\star =$ l’addition des nombres ;

$G = \mathbb{R}^{+*}$, $\star =$ la multiplication des nombres ;

$G = \mathbb{C}$, $\star =$ l’addition des nombres ;

$G = \mathbb{C}^{*}$, $\star =$ la multiplication des nombres ;

$G = \{z \in\mathbb{C}, |z| = 1\}$, $\star =$ la multiplication des nombres ;

$G = \{e^{i\frac{2\pi k}{n}}, k = 0, 1, \dots, n-1\}$, $\star =$ la multiplication des nombres ($n$ est un entier fixé) ;

$G = \textrm{l'ensemble }\allowbreak \textrm{des }\allowbreak \textrm{bijections }\allowbreak \textrm{d'un }\allowbreak \textrm{ensemble }\allowbreak \textrm{non }\allowbreak \textrm{vide} \,\,\,E$, $\star =$ la composition des applications ;

$G$ = l’ensemble des isométries de l’espace euclidien $\mathbb{R}^{3}$ (muni du produit scalaire standard), $\star =$ la composition des applications ;

$G$ = l’ensemble des isométries du plan euclidien $\mathbb{R}^{2}$ (muni du produit scalaire standard) qui préservent une figure donnée, $\star =$ la composition des applications.