Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont des groupes. Préciser quel est l’élément neutre de \(G\) et quel est l’inverse d’un élément quelconque \(x\in G\).
\(G = \mathbb{Z}\), \(\star =\) l’addition des nombres ;
\(G = \mathbb{Q}^{*}\) (ensemble des rationnels non nuls), \(\star =\)la multiplication des nombres ;
\(G = \mathbb{Q}^{+*}\) (ensemble des rationnels strictement positifs), \(\star =\) la multiplication des nombres ;
\(G = \mathbb{R}\), \(\star =\) l’addition des nombres ;
\(G = \mathbb{R}^{+*}\), \(\star =\) la multiplication des nombres ;
\(G = \mathbb{C}\), \(\star =\) l’addition des nombres ;
\(G = \mathbb{C}^{*}\), \(\star =\) la multiplication des nombres ;
\(G = \{z \in\mathbb{C}, |z| = 1\}\), \(\star =\) la multiplication des nombres ;
\(G = \{e^{i\frac{2\pi k}{n}}, k = 0, 1, \dots, n-1\}\), \(\star =\) la multiplication des nombres (\(n\) est un entier fixé) ;
\(G = \textrm{l'ensemble des bijections d'un ensemble non vide} \,\,\,E\), \(\star =\) la composition des applications ;
\(G\) = l’ensemble des isométries de l’espace euclidien \(\mathbb{R}^{3}\) (muni du produit scalaire standard), \(\star =\) la composition des applications ;
\(G\) = l’ensemble des isométries du plan euclidien \(\mathbb{R}^{2}\) (muni du produit scalaire standard) qui préservent une figure donnée, \(\star =\) la composition des applications.