L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

exo7 3079

Soit σ∈Sn\sigma \in S_n. On appelle orbite de σ\sigma toute partie XX de {1,…,n}\{1,\dots,n\} sur laquelle σ\sigma induit une permutation circulaire. (Les orbites sont les supports des cycles de σ\sigma, et les singletons constitués de points fixes)

On note N(σ)N(\sigma) le nombre d’orbites de σ\sigma.

1

Montrer que si τ\tau est une transposition, alors N(τ∘σ)=N(σ)±1N(\tau\circ\sigma) = N(\sigma) \pm 1.

2

Application : Quel est le nombre minimal de transpositions nécéssaires pour obtenir un nn-cycle ?

Exercice p4T4

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