Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose la matrice \(M_{a,b}=\left(\begin{smallmatrix} a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right).\) Soit \(\mathcal{S}=\left\{M_{a,b}:(a,b)\in \Rr^2\setminus \left\{(0,0)\right\}\right\}\). Soit l’application \(f: \mathcal{S} \to\Rr, M_{a,b}\mapsto a^2+b^2\).
1
Montrer que \(\mathcal{ S }\) est un groupe pour la loi usuelle de multiplication des matrices carrées.
2
Montrer que \(f\) est un morphisme du groupe \(\left(\mathcal{ S },\times\right)\) dans le groupe multiplicatif \(\Rr\setminus\left\{(0,0)\right\}\).