Soit \(P = X^4 + 1 \in \C[X]\).
1
De quelle forme sont les polynômes irréductibles de \(\C[X]\) ? Factoriser \(P\) en produit d’irréductibles dans \(\C[X]\).
2
De quelle forme sont les polynômes irréductibles de \(\R[X]\) ? Factoriser \(P\) en produit d’irréductibles dans \(\R[X]\).
3
Montrer que \(P\) ne peut pas se factoriser en produit de deux polynômes de degré 2 à coefficients rationnels (on pourra supposer que c’est possible, et écrire la division euclidienne de \(P\) par l’un de ces facteurs). En déduire que \(P\) est irréductible dans \(\Q[X]\).