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Soit $i,j \in \{3,\dots,n \}\ , i \ne j$.

Décomposer en cycles à supports disjoints la permutation : $\sigma=(1\ i\ 2)\circ(1\ 2\ j)\circ(1\ i\ 2)$.

On note $\cal H$ le sous-groupe de ${\cal A}_n$ engendré par les 3-cycles $(1\ 2\ k)$,$3 \le k \le n$.

Montrer que : $\forall\ i,j \ge 3$, avec $i \ne j$, $\cal H$ contient $(1\ 2)\circ(i\ j)$ et $(i\ j)\circ(1\ 2)$.

Montrer que : $\forall\ j \ge 3$, $\cal H$ contient $(1\ 2)\circ(1\ j)$ et $(1\ 2)\circ(2\ j)$.

Montrer que : $\forall\ i \ne j$, $\forall\ k \ne l$,$(i\ j)\circ(k\ l) \in \cal H$.

Montrer que ${\cal H}={\cal A}_n$.