Soit \(n \in \N,n \ge 4\).
1
Soit \(i,j \in \{3,\dots,n \}\ , i \ne j\).
Décomposer en cycles à supports disjoints la permutation : \(\sigma=(1\ i\ 2)\circ(1\ 2\ j)\circ(1\ i\ 2)\).
2
On note \(\cal H\) le sous-groupe de \({\cal A}_n\) engendré par les 3-cycles \((1\ 2\ k)\),\(3 \le k \le n\).
3
Montrer que : \(\forall\ i,j \ge 3\), avec \(i \ne j\), \(\cal H\) contient \((1\ 2)\circ(i\ j)\) et \((i\ j)\circ(1\ 2)\).
4
Montrer que : \(\forall\ j \ge 3\), \(\cal H\) contient \((1\ 2)\circ(1\ j)\) et \((1\ 2)\circ(2\ j)\).
5
Montrer que : \(\forall\ i \ne j\), \(\forall\ k \ne l\),\((i\ j)\circ(k\ l) \in \cal H\).
6
Montrer que \({\cal H}={\cal A}_n\).