1
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\).
2
Quelle est alors la structure de l’ensemble quotient \(A=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)\) ?
3
Quel est le cardinal de \(A\) ? Soit \(\alpha\) la classe du polynôme \(X\) dans ce quotient \(A\). Donner la liste des éléments de \(A\).
4
Sans calculs, mais en justifiant votre réponse, dire ce que valent les quantités suivantes \[\alpha+\alpha, \ \ \alpha^3+\alpha+1, \ \ \ \alpha^7.\]
5
Déterminer l’ordre multiplicatif de \(\alpha\) dans \(A^\times\).
6
Etablir la table des puissances de \(\alpha\).
7
Calculer \((1+\alpha) (1+\alpha^2)\).
8
Calculer \(\alpha^3+\alpha^2\) comme puissance de \(\alpha\).
9
Calculer \((1+\alpha)^{-1}\).