Soit \(f:(\Zz,+) \longrightarrow (\Zz,+)\) un morphisme de groupe. Comme tout morphisme \(f\) vérifie \(f(0)=0\). Notons \(a = f(1)\). Alors \[f(2) = f(1+1) = f(1)+f(1) = a+a = 2.a.\] De même, pour \(n \ge 0\) : \[f(n) = f(1+\cdots+1)= f(1)+\cdots+f(1) = n.f(1) = n.a.\] Enfin comme \[0= f(0) = f(1+(-1)) = f(1) + f(-1) = a + f(-1),\] alors \(f(-1) = -a\) et pour tout \(n \in \Zz\) : \[f(n) = n.a.\] Donc tous les morphisme sont de la forme \(n \mapsto n.a\), avec \(a\in\Zz\).

Un morphisme \(n \mapsto n.a\) est injectif si et seulement si \(a \not= 0\), et surjectif si et seulement si \(n = \pm 1\).

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