L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 5 questions

exo7 2987

Soit n∈Nn \in \N, n≥3n \ge 3. On note ω=exp⁡2iπn\omega = \exp\frac {2i\pi}n et : fk:C→C,z↦ωkzgk:C→C,z↦ωkz‾(0≤k<n){f_k} : {\C} \to {\C}, z \mapsto {\omega^kz} \qquad {g_k} : {\C} \to {\C}, z \mapsto{\omega^k\overline z} \qquad (0 \le k < n)

1

Montrer que G={f0,…,fn−1,g0,…,gn−1}G = \{f_0,\dots,f_{n-1}, g_0,\dots,g_{n-1}\} est un groupe pour la composition des applications.

2

Soit a>0a > 0 et AkA_k le point du plan d’affixe aωka\omega^k. Montrer que GG représente le groupe des isométries du polygone A0…An−1A_0\dots A_{n-1}.

3

GG est-il cyclique ?

4

Montrer que GG est engendré par les applications f1f_1 et g0g_0 et que l’on a : f1∘g0=g0∘f1−1f_1\circ g_0 = g_0\circ f_1^{-1}.

5

Soit HH un groupe quelconque engendré par deux éléments ρ\rho et σ\sigma tels que {ρ est d’ordre nσ est d’ordre 2ρσ=σρ−1.\begin{cases}\rho \text{ est d'ordre } n\cr \sigma \text{ est d'ordre } 2\cr \rho\sigma = \sigma\rho^{-1}.\end{cases}

Montrer que GG et HH sont isomorphes.

Exercice UUbH

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