Soit \(n \in \N\), \(n \ge 3\). On note \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\) et : \[{f_k} : {\C} \to {\C}, z \mapsto {\omega^kz} \qquad {g_k} : {\C} \to {\C}, z \mapsto{\omega^k\overline z} \qquad (0 \le k < n)\]
Montrer que \(G = \{f_0,\dots,f_{n-1}, g_0,\dots,g_{n-1}\}\) est un groupe pour la composition des applications.
Soit \(a > 0\) et \(A_k\) le point du plan d’affixe \(a\omega^k\). Montrer que \(G\) représente le groupe des isométries du polygone \(A_0\dots A_{n-1}\).
\(G\) est-il cyclique ?
Montrer que \(G\) est engendré par les applications \(f_1\) et \(g_0\) et que l’on a : \(f_1\circ g_0 = g_0\circ f_1^{-1}\).
Soit \(H\) un groupe quelconque engendré par deux éléments \(\rho\) et \(\sigma\) tels que \(\begin{cases}\rho \text{ est d'ordre } n\cr \sigma \text{ est d'ordre } 2\cr \rho\sigma = \sigma\rho^{-1}.\end{cases}\)
Montrer que \(G\) et \(H\) sont isomorphes.