Pour $(x_1,...,x_n)\in E$ , on pose $\varphi((x_1,...,x_n))=x_1+...+x_n$ . $\varphi$ est une forme linéaire non nulle sur $E$ et $H$ est le noyau de $\varphi$ . $H$ est donc bien un hyperplan de $E$ .

Il est clair que, pour $(\sigma,\sigma')\in S_n^2$ , $f_\sigma\circ f_{\sigma'}=f_{\sigma\circ\sigma'}$ . $(\mathcal{L}(E),+,.)$ est un espace vectoriel et donc, $p$ est bien un endomorphisme de $E$ .

$p^2=\frac{1}{n!^2}\left(\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_\sigma\right)^2=\sum_{(\sigma,\sigma')\in(S_n)^2}^{}f_\sigma\circ f_{\sigma'}.$

Mais, $(S_n,\circ)$ est un groupe fini. Par suite, l’application $\begin{array}{ccc} S_n&\rightarrow&S_n\\ \sigma&\mapsto&\sigma\circ\sigma' \end{array}$ , injective (même démarche que dans l’exercice [exo:suprou8ter]), est une permutation de $S_n$ . On en déduit que, pour $\sigma'$ donnée, $\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_{\sigma\circ\sigma'}=\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_{\sigma}$ . Ainsi, en posant $q=n!p$ .

$p^2=\frac{1}{n!^2}\sum_{\sigma'\in S_n}^{}(\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_{\sigma\circ\sigma'})=\frac{1}{n!^2}\sum_{\sigma'\in S_n}^{}q=\frac{1}{n!^2}.n!q=\frac{1}{n!}q=p.$

$p$ est donc une projection. Déterminons alors l’image et le noyau de $p$ . Soit $i\in\{1,...,n\}$ .

$p(e_i)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_\sigma(e_i)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}^{}e_{\sigma(i)}.$

Maintenant, il y a (bien sûr) autant de permuations $\sigma$ telles que $\sigma(i)=1$ , que de permutations $\sigma$ telles que $\sigma(i)=2$ ,... ou de permutations $\sigma$ telles que $\sigma(i)=n$ , à savoir $\frac{n!}{n}=(n-1)!$ . Donc,

$\forall i\in\{1,...,n\},\;p(e_i)=\frac{1}{n!}\frac{n!}{n}\sum_{k=1}^{n}e_k=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}e_k.$

Posons $u=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}e_k$ . D’après ce qui précède,

$\mbox{Im}p=\mbox{Vect}(p(e_1),...,p(e_n))=\mbox{Vect}(u).$

Ensuite, si $x=x_1e_1+...+x_ne_n$ est un élément de $E$ ,

$p(x)=0\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_kp(e_k)=0\Leftrightarrow(\sum_{k=1}^{n}x_k)u=0\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_k=0\Leftrightarrow x\in H.$

Ainsi, $p$ est la projection sur $\mbox{Vect}(u)$ parallèlement à $H$ .

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