Pour \((x_1,...,x_n)\in E\), on pose \(\varphi((x_1,...,x_n))=x_1+...+x_n\). \(\varphi\) est une forme linéaire non nulle sur \(E\) et \(H\) est le noyau de \(\varphi\). \(H\) est donc bien un hyperplan de \(E\).

Il est clair que, pour \((\sigma,\sigma')\in S_n^2\), \(f_\sigma\circ f_{\sigma'}=f_{\sigma\circ\sigma'}\). \((\mathcal{L}(E),+,.)\) est un espace vectoriel et donc, \(p\) est bien un endomorphisme de \(E\).

\[p^2=\frac{1}{n!^2}\left(\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_\sigma\right)^2=\sum_{(\sigma,\sigma')\in(S_n)^2}^{}f_\sigma\circ f_{\sigma'}.\]

Mais, \((S_n,\circ)\) est un groupe fini. Par suite, l’application \(\begin{array}[t]{ccc} S_n&\rightarrow&S_n\\ \sigma&\mapsto&\sigma\circ\sigma' \end{array}\), injective (même démarche que dans l’exercice [exo:suprou8ter]), est une permutation de \(S_n\). On en déduit que, pour \(\sigma'\) donnée, \(\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_{\sigma\circ\sigma'}=\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_{\sigma}\). Ainsi, en posant \(q=n!p\).

\[p^2=\frac{1}{n!^2}\sum_{\sigma'\in S_n}^{}(\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_{\sigma\circ\sigma'})=\frac{1}{n!^2}\sum_{\sigma'\in S_n}^{}q=\frac{1}{n!^2}.n!q=\frac{1}{n!}q=p.\]

\(p\) est donc une projection. Déterminons alors l’image et le noyau de \(p\). Soit \(i\in\{1,...,n\}\).

\[p(e_i)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_\sigma(e_i)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}^{}e_{\sigma(i)}.\]

Maintenant, il y a (bien sûr) autant de permuations \(\sigma\) telles que \(\sigma(i)=1\), que de permutations \(\sigma\) telles que \(\sigma(i)=2\),... ou de permutations \(\sigma\) telles que \(\sigma(i)=n\), à savoir \(\frac{n!}{n}=(n-1)!\). Donc,

\[\forall i\in\{1,...,n\},\;p(e_i)=\frac{1}{n!}\frac{n!}{n}\sum_{k=1}^{n}e_k=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}e_k.\]

Posons \(u=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}e_k\). D’après ce qui précède,

\[\mbox{Im}p=\mbox{Vect}(p(e_1),...,p(e_n))=\mbox{Vect}(u).\]

Ensuite, si \(x=x_1e_1+...+x_ne_n\) est un élément de \(E\),

\[p(x)=0\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_kp(e_k)=0\Leftrightarrow(\sum_{k=1}^{n}x_k)u=0\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}x_k=0\Leftrightarrow x\in H.\]

Ainsi, \(p\) est la projection sur \(\mbox{Vect}(u)\) parallèlement à \(H\).

exo7 5361