Si \(H \subset K\) alors \(H\cup K = K\), qui est un sous-groupe de H. Même chose si \(K \subset H\).
Réciproquement, supposons que \(H\cup K\) est un sous-groupe de \(G\). Par l’absurde supposons que \(H \not\subset K\) et \(K \not\subset H\). Alors il existe \(x\in H\setminus K\) et \(y \in K\setminus H\). Comme \(x,y \in H\cup K\) et que \(H\cup K\) est un groupe alors \(x.y \in H\cup K\). Donc \(x.y \in H\) ou \(x.y \in K\). Par exemple supposons \(x.y \in H\) alors comme \(x\in H\), \(x^{-1}\in H\) et donc comme \(H\) est un groupe \(x^{-1}.x.y \in H\) et donc \(y\in H\). Ce qui est en contradiction avec l’hypothèse \(y \in K\setminus H\). En conclusion, parmi les sous-groupes \(H,K\) l’un est inclus dans l’autre.

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