Soit \(\sigma\) un \(k\)-cycle de \({\cal S}_n\) et \(p \in \Z\).
1
Si \(p \mid k\), montrer que \(\sigma^p\) est le produit de \(p\) cycles à supports disjoints de longueur \(\frac kp\).
2
Montrer que pour \(p \wedge k = 1\), \(\sigma^p\) est un \(k\)-cycle (utiliser l’égalité de Bézout).
3
Dans le cas général, étudier la décomposition en cycles de \(\sigma^p\).