1
Soit $(G,.)$ un groupe. Montrer l'équivalence de: \begin{description}
2
i) \(G\) est abélien.
3
ii) Pour tout \(a,b\in G\), on a: \((ab)^{2}=a^{2}b^{2}\).
4
iii) Pour tout \(a,b\in G\), on a: \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\).
5
{iv)} L'application $f$ de $G$ dans $G$ définie par $f(x)=x^{-1}$ est un automorphisme. \end{description}
6
En déduire que si pour tout \(x\in G\), \(x^{2}=e\), alors \(G\) est abélien.