exo7 1331

Soit $(G,.)$ un groupe. Montrer l’équivalence de:

i) $G$ est abélien.

ii) Pour tout $a,b\in G$, on a: $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$.

iii) Pour tout $a,b\in G$, on a: $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$.

iv) L’application $f$ de $G$ dans $G$ définie par $f(x)=x^{-1}$ est un automorphisme.

En déduire que si pour tout $x\in G$, $x^{2}=e$, alors $G$ est abélien.