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Montrer que le polynôme $X^3+X+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$.

Quelle est alors la structure de l’ensemble quotient $A=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)$ ?

Quel est le cardinal de $A$ ? Soit $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans ce quotient $A$. Donner la liste des éléments de $A$.

Sans calculs, mais en justifiant votre réponse, dire ce que valent les quantités suivantes $$\alpha+\alpha, \ \ \alpha^3+\alpha+1, \ \ \ \alpha^7.$$

Déterminer l’ordre multiplicatif de $\alpha$ dans $A^\times$.

Etablir la table des puissances de $\alpha$.

Calculer $(1+\alpha) (1+\alpha^2)$.

Calculer $\alpha^3+\alpha^2$ comme puissance de $\alpha$.

Calculer $(1+\alpha)^{-1}$.