Si l’un des réels $a$ , $b$ ou $c$ est strictement plus grand que $1$ , alors l’un au moins des trois réels $a(1-b)$ , $b(1-c)$ , $c(1-a)$ est négatif (puisque $a$ , $b$ et $c$ sont positifs) et donc inférieur ou égal à $\frac{1}{4}$ .

Sinon, les trois réels $a$ , $b$ et $c$ sont dans $[0,1]$ . Le produit des trois réels $a(1-b)$ , $b(1-c)$ et $c(1-a)$ vaut

$a(1-a)b(1-b)c(1-c).$

Mais, pour $x\in[0,1]$ , $x(1-x)$ est positif et d’autre part, $x(1-x)=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}$ . Par suite,

$a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leq\frac{1}{4^3}.$

Il est alors impossible que les trois réels $a(1-b)$ , $b(1-c)$ et $c(1-a)$ soient strictement plus grand que $\frac{1}{4}$ , leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que $\frac{1}{4^3}$ .

On a montré dans tous les cas que l’un au moins des trois réels $a(1-b)$ , $b(1-c)$ et $c(1-a)$ est inférieur ou égal à $\frac{1}{4}$ .

exo7 5151