Soient $k$ un entier naturel non nul et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $k$ .

$\begin{align*} \binom{n+10\times k!}{k}&=\frac{(n+10\times k!)(n+10\times k!-1)...(n+10\times k!-k+1)}{k!}\\ &=\frac{n(n-1)...(n-k+1)+10\times k!\times K}{k!}\quad(\mbox{pour un certain entier}\;K)\\ &=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}+10K=\binom{n}{k}+10K. \end{align*}$ La différence $\dbinom{n+10\times k!}{k}-\dbinom{n}{k}$ est donc divisible par $10$ . Par suite, $\dbinom{n+10\times k!}{k}$ et $\dbinom{n}{k}$ ont même chiffre des unités en base 10. Ainsi, $\forall n\geq k,\;u_{n+10\times k!}=u_n$ et donc la suite $u$ est donc $10k!$ -périodique. On sait alors que

$0,u_ku_{k+1}u_{k+2}...$ est rationnel.

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