Soit \(x\) un irrationnel et \((\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}\) une suite de rationnels tendant vers \(x\) (\(p_n\) entier relatif et \(q_n\) entier naturel non nul, la fraction \(\frac{p_n}{q_n}\) n’étant pas nécessairement irréductible). Supposons que la suite \((q_n)_{n\in\Nn}\) ne tende pas vers \(+\infty\). Donc :

\[\exists A>0/\;(\forall n_0\in\Nn)(\exists n\geq n_0/\;q_n\geq A)\]

ou encore, il existe une suite extraite \((q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}\) de la suite \((q_n)_{n\in\Nn}\) qui est bornée.

La suite \((q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}\) est une suite d’entiers naturels qui est bornée, et donc cette suite ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Mais alors, on peut extraire de la suite \((q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}\) et donc de la suite \((q_n)_{n\in\Nn}\) une suite \((q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}\) qui est constante et en particulier convergente.

La suite \((p_{\psi(n)})_{n\in\Nn}=(\frac{p_{\psi(n)}}{q_{\psi(n)}})_{n\in\Nn}(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}\) est aussi une suite d’entiers relatifs convergente et est donc constante à partir d’un certain rang.

Ainsi, on peut extraire de la suite \((p_{\psi(n)})_{n\in\Nn}\) et donc de la suite \((p_n)_{n\in\Nn}\) une suite \((p_{\sigma(n)})_{n\in\Nn}\) constante. La suite \(((q_{\sigma(n)})_{n\in\Nn}\) est également constante car extraite de la suite constante \((q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}\) et finalement, on a extrait de la suite \((\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}\) une sous suite \((\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}\) constante.

Mais la suite \((\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}\) tend vers \(x\) et donc la suite extraite \((\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}\) tend vers \(x\). Puisque \((\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}\) est constante, on a \(\forall n\in\Nn,\;\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}}=x\) et donc \(x\) est rationnel. Contradiction .

Donc la suite \((q_n)_{n\in\Nn}\) tend vers \(+\infty\). Enfin si \((|p_n|)_{n\in\Nn}\) ne tend pas vers \(+\infty\), on peut extraire de \((p_n)_{n\in\Nn}\) une sous-suite bornée \((p_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}\). Mais alors, la suite \((\frac{p_{\varphi(n)}}{q_{\varphi(n)}})_{n\in\Nn}\) tend vers \(x=0\) contredisant l’irrationnalité de \(x\). Donc, la suite \((|p_n|)_{n\in\Nn}\) tend vers \(+_infty\).

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