Soit $x$ un irrationnel et $(\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}$ une suite de rationnels tendant vers $x$ ( $p_n$ entier relatif et $q_n$ entier naturel non nul, la fraction $\frac{p_n}{q_n}$ n’étant pas nécessairement irréductible). Supposons que la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ ne tende pas vers $+\infty$ . Donc :

$p_n\in\Zz$

ou encore, il existe une suite extraite $(q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ de la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ qui est bornée.

La suite $(q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ est une suite d’entiers naturels qui est bornée, et donc cette suite ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Mais alors, on peut extraire de la suite $(q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ et donc de la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ une suite $(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ qui est constante et en particulier convergente.

La suite $(p_{\psi(n)})_{n\in\Nn}=(\frac{p_{\psi(n)}}{q_{\psi(n)}})_{n\in\Nn}(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ est aussi une suite d’entiers relatifs convergente et est donc constante à partir d’un certain rang.

Ainsi, on peut extraire de la suite $(p_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ et donc de la suite $(p_n)_{n\in\Nn}$ une suite $(p_{\sigma(n)})_{n\in\Nn}$ constante. La suite $((q_{\sigma(n)})_{n\in\Nn}$ est également constante car extraite de la suite constante $(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ et finalement, on a extrait de la suite $(\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}$ une sous suite $(\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}$ constante.

Mais la suite $(\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}$ tend vers $x$ et donc la suite extraite $(\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}$ tend vers $x$ . Puisque $(\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}$ est constante, on a $\forall n\in\Nn,\;\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}}=x$ et donc $x$ est rationnel. Contradiction .

Donc la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ tend vers $+\infty$ . Enfin si $(|p_n|)_{n\in\Nn}$ ne tend pas vers $+\infty$ , on peut extraire de $(p_n)_{n\in\Nn}$ une sous-suite bornée $(p_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ . Mais alors, la suite $(\frac{p_{\varphi(n)}}{q_{\varphi(n)}})_{n\in\Nn}$ tend vers $x=0$ contredisant l’irrationnalité de $x$ . Donc, la suite $(|p_n|)_{n\in\Nn}$ tend vers $+_infty$ .

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