L3 Algèbre et théorie des nombres Groupe 5 questions

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Le but de cet exercice est de donner la construction d’un groupe libre et d’introduire la notion de présentation d’un groupe.

Soit S={si}i∈IS=\{s_i\}_{i\in I} un ensemble quelconque qu’on appellera alphabet. Un mot dans l’alphabet SS est par définition une succession finie (ou vide) :

w=si1ϵ1⋅⋅⋅sikϵk, ouˋ ϵi=±1 et sij∈S, k∈N\begin{equation}w=s^{\epsilon_1}_{i_1}\cdot\cdot\cdot s^{\epsilon_k}_{i_k},\ o\grave u\ \epsilon_i=\pm 1\ et\ s_{i_j}\in S,\ k\in\N\hfill\tag*{$(1)$}\end{equation}

Notons WW l’ensemble de tous les mots. Un mot w∈Ww\in W est dit réduit si son écriture (1) ne contient pas deux lettres consécutives du type siϵs^{\epsilon}_{i} et si−ϵs^{-\epsilon}_{i}. Les mots w1w_1 et w2w_2 sont dits voisins si w2=gsiϵsi−ϵhw_2=g s_i^{\epsilon} s_i^{-\epsilon} h et w1=ghw_1=g h. Deux mots ff et gg s’appellent équivalents (on note f∼gf\sim g) s’il existe une succession finie de mots : f=w0,w1,...,wn=gf=w_0, w_1, ..., w_n=g où les mots wiw_i et wi−1w_{i-1} sont voisins (i∈{1,...,n}i\in\{1,...,n\}).

1

Montrer que ∼\sim est une relation d’équivalence.

Etant donné un mot f=a1...atf=a_1 ... a_t (où aj=sijϵja_j= s_{i_j}^{\epsilon_j}) définissons une suite de transformations appelée RR-procédé : R0=eR_0=e (le mot vide), R1=a1R_1=a_1 et Ri+1={Riai+1 si Ri n’est pas un mot reˊduit du type Xai+1−1X si Ri est un mot reˊduit du type Xai+1−1.R_{i+1}= \begin{cases} R_i a_{i+1} & \text{ si } R_i \text{ n'est pas un mot réduit du type } Xa^{-1}_{i+1} \cr X & \text{ si } R_i \text{ est un mot réduit du type } Xa^{-1}_{i+1} \cr \end{cases}.

Autrement dit un RR-procédé consiste à faire toutes les simplifications de droite à gauche.

2

On suppose que w1=a1...arar+1...atw_1=a_1 ... a_r a_{r+1} ... a_t et w1=a1...arsjϵsj−ϵar+1...atw_1=a_1 ... a_r s_j^{\epsilon} s_j^{-\epsilon} a_{r+1} ... a_t sont deux mots et que RiR^i désigne le RR-procédé appliqué au mot wiw_i. Montrer que Rt1=Rt+22R^1_t=R^2_{t+2} c.-à.-d. R1(w1)=R2(w2)R^1(w_1)=R^2(w_2). En déduire que chaque classe de W/∼W/\sim contient un mot réduit et un seul.

Pour deux classes [wi]∈W/∼ (i=1,2)[w_i]\in W/\sim\ (i=1,2) définissons maintenant leur produit comme suit (de gauche à droite) :

[w1][w2]=[w1w2]\begin{equation}[w_1] [w_2] = [w_1 w_2]\hfill\tag*{$(2).$}\end{equation}

3

Démontrer que (2) ne dépend pas du choix des représentants des classes [wi][w_i]. Montrer que l’ensemble F=W/∼\displaystyle F=W/\sim muni de l’opération (2) est un groupe.

Ce groupe s’appelle groupe libre engendré par SS, on appelle les éléments de SS générateurs libres de FF.

Soit maintenant GG un groupe quelconque engendré par un système XX où X={xi}i∈IX=\{x_i\}_{i\in I} et FF est le groupe libre engendré par SS. Supposons qu’il existe une bijection f:S↦Xf:S\mapsto X telle que f(si)=xi (i∈I)f(s_i)=x_i\ (i\in I).

4

Montrer que ff se prolonge en un homomorphisme f:F↦Gf:F\mapsto G.

5

En particulier, en déduire que si  Card (S)= Card (S′){\text { Card } (S)}= \text { Card } (S'), alors le groupe libre engendré par SS est isomorphe au le groupe libre engendré par S′S'.

Exercice VeJ3

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