[pot:exo9] Le but de cet exercice est de donner la construction d’un groupe libre et d’introduire la notion de présentation d’un groupe.
Soit \(S=\{s_i\}_{i\in I}\) un ensemble quelconque qu’on appellera alphabet. Un mot dans l’alphabet \(S\) est par définition une succession finie (ou vide) :
\[w=s^{\epsilon_1}_{i_1}\cdot\cdot\cdot s^{\epsilon_k}_{i_k},\ o\grave u\ \epsilon_i=\pm 1\ et\ s_{i_j}\in S,\ k\in\N\hfill\eqno(1)\]
Notons \(W\) l’ensemble de tous les mots. Un mot \(w\in W\) est dit réduit si son écriture (1) ne contient pas deux lettres consécutives du type \(s^{\epsilon}_{i}\) et \(s^{-\epsilon}_{i}\). Les mots \(w_1\) et \(w_2\) sont dits voisins si \(w_2=g s_i^{\epsilon} s_i^{-\epsilon} h\) et \(w_1=g h\). Deux mots \(f\) et \(g\) s’appellent équivalents (on note \(f\sim g\)) s’il existe une succession finie de mots : \(f=w_0, w_1, ..., w_n=g\) où les mots \(w_i\) et \(w_{i-1}\) sont voisins (\(i\in\{1,...,n\}\)).
Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
Etant donné un mot \(f=a_1 ... a_t\) (où \(a_j= s_{i_j}^{\epsilon_j}\)) définissons une suite de transformations appelée \(R\)-procédé : \(R_0=e\) (le mot vide), \(R_1=a_1\) et \[R_{i+1}= \begin{cases} R_i a_{i+1} & \text{ si } R_i \text{ n'est pas un mot réduit du type } Xa^{-1}_{i+1} \cr X & \text{ si } R_i \text{ est un mot réduit du type } Xa^{-1}_{i+1} \cr \end{cases}.\]
Autrement dit un \(R\)-procédé consiste à faire toutes les simplifications de droite à gauche.
On suppose que \(w_1=a_1 ... a_r a_{r+1} ... a_t\) et \(w_1=a_1 ... a_r s_j^{\epsilon} s_j^{-\epsilon} a_{r+1} ... a_t\) sont deux mots et que \(R^i\) désigne le \(R\)-procédé appliqué au mot \(w_i\). Montrer que \(R^1_t=R^2_{t+2}\) c.-à.-d. \(R^1(w_1)=R^2(w_2)\). En déduire que chaque classe de \(W/\sim\) contient un mot réduit et un seul.
Pour deux classes \([w_i]\in W/\sim\ (i=1,2)\) définissons maintenant leur produit comme suit (de gauche à droite) :
\[[w_1] [w_2] = [w_1 w_2]\hfill\eqno (2).\]
Démontrer que (2) ne dépend pas du choix des représentants des classes \([w_i]\). Montrer que l’ensemble \(\displaystyle F=W/\sim\) muni de l’opération (2) est un groupe.
Ce groupe s’appelle groupe libre engendré par \(S\), on appelle les éléments de \(S\) générateurs libres de \(F\).
Soit maintenant \(G\) un groupe quelconque engendré par un système \(X\) où \(X=\{x_i\}_{i\in I}\) et \(F\) est le groupe libre engendré par \(S\). Supposons qu’il existe une bijection \(f:S\mapsto X\) telle que \(f(s_i)=x_i\ (i\in I)\).
Montrer que \(f\) se prolonge en un homomorphisme \(f:F\mapsto G\).
En particulier, en déduire que si \({\text { Card } (S)}= \text { Card } (S')\), alors le groupe libre engendré par \(S\) est isomorphe au le groupe libre engendré par \(S'\).