exo7 7875

Faire la liste des classes de conjugaison de $\mathcal{S}_n$ dans $\mathcal{A}_n$ en les dénombrant.

Montrer que les $3$-cycles sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$.

Montrer que les éléments d’ordre $2$ sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$.

Montrer que tout sous-groupe distingué $H$ de $\mathcal{A}_n$ qui contient un élément d’ordre $5$ les contient tous. (On remarquera que le groupe engendré par un élément d’ordre $5$ est un Sylow.)

Montrer que tout sous-groupe distingué $H$ de $\mathcal{A}_n$ non réduit à $\{id\}$ contient au moins deux types d’éléments en plus de l’identité. Montrer alors que $H=\mathcal{A}_n$.