1
Faire la liste des classes de conjugaison de \(\mathcal{S}_n\) dans \(\mathcal{A}_n\) en les dénombrant.
2
Montrer que les \(3\)-cycles sont conjugués dans \(\mathcal{A}_n\).
3
Montrer que les éléments d’ordre \(2\) sont conjugués dans \(\mathcal{A}_n\).
4
Montrer que tout sous-groupe distingué \(H\) de \(\mathcal{A}_n\) qui contient un élément d’ordre \(5\) les contient tous. (On remarquera que le groupe engendré par un élément d’ordre \(5\) est un Sylow.)
5
Montrer que tout sous-groupe distingué \(H\) de \(\mathcal{A}_n\) non réduit à \(\{id\}\) contient au moins deux types d’éléments en plus de l’identité. Montrer alors que \(H=\mathcal{A}_n\).