Soient $n\in\Nn^*$ et $a_1$ , $a_2$ ,..., $a_n$ , $n$ réels strictement positifs.

$\begin{align*} \left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}\right)&=\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}\frac{a_i}{a_j} =\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{a_i}+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{}(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}) =n+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{}(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}) \end{align*}$

Pour $x>0$ , posons alors $f(x)=x+\frac{1}{x}$ . $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$ , $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ . $f$ est donc strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$ . $f$ admet ainsi un minimum en $1$ . Par suite,

$\forall x>0,\;f(x)\geq f(1)=1+\frac{1}{1}=2.$

(Remarque. L’inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d’obtenir le résultat : $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\geq\sqrt{x.\frac{1}{x}}=1.)$

On en déduit alors que

$\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}\geq n+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{}2=n+2\frac{n^2-n}{2}=n^2.$

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