Si deux des \(a_i\) sont égaux ou deux des \(b_j\) sont égaux, \(C_n\) est nul car \(C_n\) a soit deux lignes identiques, soit deux colonnes identiques.

On suppose dorénavant que les \(a_i\) sont deux à deux distincts de même que les \(b_j\) (et toujours que les sommes \(a_i+b_j\) sont toutes non nulles).

Soit \(n\in\Nn^*\). On note \(L_1\),…, \(L_{n+1}\) les lignes de \(C_{n+1}\).

On effectue sur \(C_{n+1}\) la transformation \(L_{n+1}\leftarrow\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_iL_i\) avec \(\lambda_{n+1}\neq 0\).

On obtient \(C_{n+1}=\frac{1}{\lambda_{n+1}}D_{n+1}\) où \(D_{n+1}\) est le déterminant obtenu en remplaçant la dernière ligne de \(C_{n+1}\) par la ligne \((R(b_1),...,R(b_{n+1}))\) avec \(R=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{\lambda_i}{X+a_i}\). On prend \(R=\frac{(X-b_1)\ldots(X-b_n)}{(X+a_1)\ldots(X+a_{n+1})}\).

Puisque les \(-a_i\) sont distincts des \(b_j\), \(R\) est irréductible.

Puisque les \(a_i\) sont deux à deux distincts, les pôles de \(R\) sont simples.

Puisque \(\text{deg}((X-b_1)...(X-b_n))<\text{deg}((X+a_1)...(X+a_{n+1}))\), la partie entière de \(R\) est nulle.

\(R\) admet donc effectivement une décomposition en éléments simples de la forme \(R=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{\lambda_i}{X+a_i}\) où \(\lambda_{n+1}\neq 0\).

Avec ce choix des \(\lambda_i\), la dernière ligne de \(D_{n+1}\) s’écrit \((0,...,0,R(b_{n+1}))\) et en développant \(D_{n+1}\) suivant sa dernière ligne, on obtient la relation de récurrence :

\(\forall n\in\Nn^*,\;C_{n+1}=\frac{1}{\lambda_{n+1}}R(b_{n+1})C_n\).

Calculons \(\lambda_{n+1}\). Puisque \(-a_{n+1}\) est un pôle simple de \(R\),

\(\lambda_{n+1}=\lim{x \rightarrow -a_{n+1}}(x+a_{n+1})R(x)=\frac{(-a_{n+1}-b_1)\ldots(-a_{n+1}-b_n)}{(-a_{n+1}+a_1)\ldots(-a_{n+1}+a_n)}=\frac{(a_{n+1}+b_1)\ldots(a_{n+1}+b_n)}{(a_{n+1}-a_1)\ldots(a_{n+1}-a_n)}\).

On en déduit que

\(\frac{1}{\lambda_{n+1}} R(b_{n+1}) =\frac{(a_{n+1}-a_1)\ldots(a_{n+1}-a_n)}{(a_{n+1}+b_1)\ldots(a_{n+1}+b_n)}\frac{(b_{n+1}-b_1)\ldots(b_{n+1}-b_n)}{(b_{n+1}+a_1)\ldots(b_{n+1}+a_n)}\)

puis la relation de récurrence

\(\forall n\in\Nn^*,\;C_{n+1}=\frac{\prod_{i=1}^{n}(a_{n+1}-a_i)\prod_{i=1}^{n}(b_{n+1}-b_i)}{\prod_{i=n+1\;\text{ou}\;j=n+1}(a_{i}+b_j)}C_n\).

En tenant compte de \(C_1=\frac{1}{a_1+b_1}\), on obtient par récurrence

(y compris dans les cas particuliers analysés en début d’exercice).

Calcul du déterminant de Hilbert. On est dans le cas particulier où \(\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(a_i = b_i = i\). D’abord

\(\text{Van}(1,...,n)=\prod_{j=2}^{n}\left(\prod_{i=1}^{j-1}(j-i)\right)=\prod_{j=2}^{n}(j-1)! =\prod_{j=1}^{n-1}i!\).

Puis \(\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}(i+j)=\prod_{i=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n}(i+j)\right)=\prod_{i=1}^{n}\frac{(i+n)!}{i!}=\) et donc

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