On choisit de comparer les fréquences observées sur les deux échantillons.

On fait l’hypothèse \(H_0\) : les deux échantillons sont des tirages de variables de Bernoulli indépendantes ayant la même espérance \(p_{pop}\).

Sous l’hypothèse \(H_{0}\), l’effectif \(n_{i}F_{i}\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(p_{pop},n_{i})\). Les échantillons étant de grande taille (\(n_1\), \(n_2 \geq 30\)), on peut supposer que \(F_{i}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(p_{pop},\sqrt{p_{pop}(1-p_{pop})/n_{i}})\). De plus, pour le calcul de la variance, on peut estimer \(p_{pop}\) au moyen de l’ensemble des données disponibles, i.e. \[\begin{aligned} p_{pop}\sim \frac{300+125}{700+225}=0,46.\end{aligned}\] La différence \(D=F_{1}-F_{2}\) suit une loi normale d’espérance nulle et de variance \(\text{Var}(D)=\text{Var}(F_{1})+\text{Var}(F_{2})=p_{pop}(1-p_{pop}) (\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})\sim 0,2484(\frac{1}{700}+\frac{1}{225})=0,00146.\)

Par conséquent, on choisit comme fonction discriminante \(T=D/\sqrt{0.00146}=D/0,0382\), qui suit une loi normale standard. La table donne \(p(|T|>1,96)=0,05\). Or, sur l’échantillon mesuré, la variable \(T\) prend la valeur \(t=\frac{-0,127}{0,0382}=-3,324\). Comme \(|t|>1,96\), on rejette \(H_{0}\). On conclut, avec au plus 5% de chances de se tromper, que les deux lots de boulons ne sont pas tirés de la même population.

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