Un repère de \((\mathcal{D})\) est \(\left(A,\overrightarrow{u}\right)\) où \(A(2,1,0)\) et \(\overrightarrow{u}(1,1,1)\).

\[\begin{align*}\ensuremath M\in(\mathcal{C})&\Leftrightarrow d(M,(\mathcal{D})) =R\Leftrightarrow\|\overrightarrow{AM}\wedge\overrightarrow{u}\|^2 = R^2\|\overrightarrow{u}\|^2\Leftrightarrow\|(x-2,y-1,z)\wedge(1,1,1)\|^2 = R^2\|(1,1,1)\|^2\\ &\Leftrightarrow (y-z-1)^2 + (x-z-2)^2 + (x-y-1)^2 = 3R^2 \\ &\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2-2xy-2xz-2yz-6x+6z+6-3R^2 = 0. \end{align*}\]

La droite \((Oz)\) est tangente à \((\mathcal{C})\) si et seulement si \(d((Oz),(\mathcal{D})) = R\).

\((Oz)\) est tangente à \((\mathcal{C})\Leftrightarrow \frac{\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{k},\overrightarrow{u}\right]^2}{\left\|\overrightarrow{k}\wedge\overrightarrow{u}\right\|^2}= R^2\Leftrightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2&0&1\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{array} \right|^2=\|(-1,1,0\|^2\Leftrightarrow 1 = 2R^2\Leftrightarrow R = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

exo7 5835