Pour $(x,y,z)\in\Rr^3$ , posons $Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+2xz$ .

La matrice de $Q$ dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est $A=\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&1\\ -1&1&0\\ 1&0&1 \end{array} \right)$ .

$\begin{align*}\ensuremath \chi_A&=\left| \begin{array}{ccc} 1-X&-1&1\\ -1&1-X&0\\ 1&0&1-X \end{array} \right|= (1-X)^3+(X-1)+(X-1) = (1-X)((1-X)^2 - 2)\\ &= (1-X)(1+\sqrt{2}-X)(1+\sqrt{2}-X). \end{align*}$

$Q$ est de rang $3$ et de signature $(2,1)$ . La surface $(\mathcal{S})$ peut être un hyperboloïde à une ou deux nappes ou un cône de révolution.

$\text{Ker}(A-I_3) =\text{Vect}(e_1)$ où $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)$ .

$\text{Ker}(A-(1+\sqrt{2})I_3)=\text{Vect}(e_2)$ où $e_2=\frac{1}{2}(\sqrt{2},-1,1)$ et $\text{Ker}(A-(1-\sqrt{2})I_3)=\text{Vect}(e_3)$ où $e_3=\frac{1}{2}(\sqrt{2},1,-1)$

La matrice de passage correspondante est la matrice $P=\left( \begin{array}{ccc} 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \end{array} \right)$ .

Déterminons une équation réduite de la surface $(\mathcal{S})$ dans le repère $(O,e_1,e_2,e_3)$ .

$\begin{align*}\ensuremath X^2+&(1+\sqrt{2})Y^2+(1-\sqrt{2})Z^2+\frac{3}{\sqrt{2}}(Y+Z)-\frac{1}{2}(\sqrt{2}X-Y+Z)+\frac{1}{2}(\sqrt{2}X+Y-Z)+1 = 0\\ &\Leftrightarrow X^2+(1+\sqrt{2})\left(Y^2+\frac{3+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}Y\right)+(1-\sqrt{2})\left(Z^2-\frac{3-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}Z\right)+1 = 0\\ &\Leftrightarrow X^2+(1+\sqrt{2})\left(Y+\frac{3+\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}\right)^2-\frac{(3+\sqrt{2})^2}{8(1+\sqrt{2})}+(1-\sqrt{2})\left(Z-\frac{3-\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}\right)^2-\frac{(3-\sqrt{2})^2}{8(1-\sqrt{2})}+1 = 0\\ &\Leftrightarrow X^2+(1+\sqrt{2})\left(Y+1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+(1-\sqrt{2})\left(Z-1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 =\frac{11+6\sqrt{2}}{8(1+\sqrt{2})}+\frac{11-6\sqrt{2}}{8(1-\sqrt{2})}-1\\ &\Leftrightarrow X^2+(1+\sqrt{2})\left(Y+1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+(1-\sqrt{2})\left(Z-1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 =-\frac{3}{4}\\ &\Leftrightarrow-\frac{4}{3}X^2-\frac{4(1+\sqrt{2})}{3}\left(Y+1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+\frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}\left(Z-1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 =1. \end{align*}$

La surface $(\mathcal{S})$ est un hyperboloïde à deux nappes de centre de coordonnées $\left(0,-1+\frac{\sqrt{2}}{4} ,1+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ dans le repère $\mathcal{R}'$ .

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