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(Droite de Simson) Soient $ABC$ un triangle et $M$ un point du plan.

Montrer que les projetés orthogonaux $P$, $Q$ et $R$ du point $M$ sur les côtés $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ du triangle $ABC$ sont alignés si et seulement si $M$ est sur le cercle circonscrit au triangle $ABC$. La droite passant par les points $P$, $Q$ et $R$ s’appelle la droite de Simson du point $M$ relativement au cercle $(ABC)$.

(Parabole tangente aux trois côtés d’un triangle) Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites deux à deux non parallèles. Fournir en particulier la construction des points de contacts.