1
(Droite de Simson) Soient \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du plan.
Montrer que les projetés orthogonaux \(P\), \(Q\) et \(R\) du point \(M\) sur les côtés \((BC)\), \((CA)\) et \((AB)\) du triangle \(ABC\) sont alignés si et seulement si \(M\) est sur le cercle circonscrit au triangle \(ABC\). La droite passant par les points \(P\), \(Q\) et \(R\) s’appelle la droite de Simson du point \(M\) relativement au cercle \((ABC)\).
2
(Parabole tangente aux trois côtés d’un triangle) Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites deux à deux non parallèles. Fournir en particulier la construction des points de contacts.