Désirant juger le travail d’un ouvrier ajusteur, un chef d’atelier prélève un échantillon de 50 pièces métalliques dans sa production. On note \(X\) l’épaisseur d’une pièce. L’objectif est une épaisseur moyenne \(\mu=\mathbb E(X)\) égale à \(5\) mm. Les résultats des mesures sur cet échantillon sont portés dans le tableau suivant :
| Effectifs \(n_i\) | 5 | 15 | 20 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Épaisseurs \(x_i\) en mm | \(4{,}8\) | \(4{,}9\) | \(5{,}0\) | \(5{,}1\) |
On modélise les 50 mesures par des variables indépendantes de même loi, de variance finie non nulle. On utilise ici l’approximation normale de la moyenne pour un échantillon de grande taille.
Cette vérification permet-elle de conclure que l’épaisseur moyenne est conforme à l’objectif de \(5\ \mathrm{mm}\) ? Effectuer un test au risque de première espèce \(\alpha=1\%\) et préciser la portée de sa conclusion.
Quel risque de première espèce devrait-on prendre pour que la prise de décision du test normal approché soit différente ?