On considère un carré ABCD et son centre de gravité O. On note \(\mathcal{E} = \{A,B,C,D,O\}.\). Une puce se déplace aléatoirement en sautant d’un point de \(\mathcal{E}\) à un autre. La seule contrainte est que si un saut relie deux sommets du carré, ceux-ci doivent être adjacents.
A chaque saut, tous les déplacements possibles sont équiprobables. La puce ne reste pas deux fois de suite au même endroit.
Au départ (c’est-à-dire avant son premier saut) elle se trouve au point \(A\). .
Pour tout \(n \in \N\), et tout \(K \in \mathcal{E}\), on note \(K_n\) l’événement la puce se trouve au point \(K\) après son \(n\)-ième saut. On notera \(p_n=\PP(O_n)\) (de sorte que \(p_0=0\)).
Calculer \(\PP(K_2)\) pour tout \(K \in \mathcal{E}\).
Démontrer que pour tout \(n \geq 1\), \(p_{n+1}=\frac{1}{3}(1-p_n)\) et en déduire une expression de \(p_n\) en fonction de \(n\).
En utilisant les symétries du problème, calculer \(\PP_{B_2}(O_3)\).
Sachant que la puce est en \(O\) après 3 sauts, quelle est la probabilité qu’elle soit passée par \(B\) ?