On définit un échantillon \(X_1,...,X_n\) et on considère la probabilité que cet échantillon réalise un ensemble de valeurs \(V=\{x_1,...,x_n\}\). La fonction de vraisemblance s’écrit alors \[L(x_1,...,x_n,a) = \PP(X_1=x_1,...,X_n=x_n) = \prod_{k=1}^{n} \PP(X=x_k) = \prod_{k=1}^n \frac{a^{x_k}}{(1+a)^{x_k+1}} = \frac{a^{\sum x_k}}{(1+a)^{\sum x_k+1}}\]

On dérive ce quotient par rapport à \(a\), on factorise par \(a^{\sum x_k-1}(1+a)^{n+\sum x_k -1}\) et on trouve que \[\frac{\partial L}{\partial a}(x_1,...,x_n,a) = 0 \iff \sum_{k=0}^n x_k(1+a) - a(n+\sum_{k=0}^n x_k) = 0 \iff a = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n x_k\]

On a donc trouvé un meilleur estimateur du paramètre \(a\) selon la méthode du maximum de vraisemblance : il s’agit de l’estimateur \(T = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n X_k\).

Reste à calculer le biais de cet estimateur, autrement dit à calculer \(B(T) = \mathbb{E}(T-a)\). Or pour tout entier \(i\), \(X_i\) suit la loi définie ci-dessus et on espérance se calcule de la manière suivante : \[\mathbb{E}(X_i) = \sum_{k=0}^n k\PP(X_i=k) = \sum_{k=0}^n k \left( \frac{a}{1+a} \right)^{k-1} \frac{a}{(1+a)^2} = \frac{1}{\left(1-\frac{a}{1+a}\right)^2} \times \frac{a}{(1+a)^2} = a\] Donc \(B(T) = \frac{1}{n} \times n \times a - a = 0\) : la variable \(T\) est donc un estimateur sans biais du paramètre \(a\).

Loi géométrique et estimation par maximum de vraisemblance