Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, il est utile de faire intervenir “l’expression conjuguée": $\sqrt a - \sqrt b = \frac{(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b}.$ Les racines au numérateur ont “disparu" en utilisant l’identité $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ .

Appliquons ceci sur un exemple : $\begin{align*} f(x) &= \frac{\sqrt{1+x^m}-\sqrt{1-x^m}}{x^n} \\ &= \frac{(\sqrt{1+x^m}-\sqrt{1-x^m})(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})}{x^n(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})} \\ &= \frac{1+x^m-(1-x^m)}{x^n(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})} \\ &= \frac{2x^m}{x^n(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})} \\ &= \frac{2x^{m-n}}{\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m}} \\ \end{align*}$ Et nous avons $\lim_{x \rightarrow 0} \frac 2 {\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m}} = 1.$ Donc l’étude de la limite de $f$ en $0$ est la même que celle de la fonction $x \mapsto x^{m-n}$ .

Distinguons plusieurs cas pour la limite de $f$ en $0$ .

Si $m > n$ alors $x^{m-n}$ , et donc $f(x)$ , tendent vers $0$ .
Si $m=n$ alors $x^{m-n}$ et $f(x)$ tendent vers $1$ .
Si $m < n$ alors $x^{m-n} = \frac 1 {x^{n-m}} = \frac 1 {x^k}$ avec $k = n-m$ un exposant positif. Si $k$ est pair alors les limites à droite et à gauche de $\frac 1{x^k}$ sont $+\infty$ . Pour $k$ impair la limite à droite vaut $+\infty$ et la limite à gauche vaut $-\infty$ . Conclusion pour $k=n-m>0$ pair, la limite de $f$ en $0$ vaut $+\infty$ et pour $k = n-m>0$ impair $f$ n’a pas de limite en $0$ car les limites à droite et à gauche ne sont pas égales.

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