Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de racines carrées, il est utile de faire intervenir “l’expression conjuguée": \[\sqrt a - \sqrt b = \frac{(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac{a-b}{\sqrt a + \sqrt b}.\] Les racines au numérateur ont “disparu" en utilisant l’identité \((x-y)(x+y) = x^2-y^2\).

Appliquons ceci sur un exemple : \[\begin{align*} f(x) &= \frac{\sqrt{1+x^m}-\sqrt{1-x^m}}{x^n} \\ &= \frac{(\sqrt{1+x^m}-\sqrt{1-x^m})(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})}{x^n(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})} \\ &= \frac{1+x^m-(1-x^m)}{x^n(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})} \\ &= \frac{2x^m}{x^n(\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m})} \\ &= \frac{2x^{m-n}}{\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m}} \\ \end{align*}\] Et nous avons \[\lim_{x \rightarrow 0} \frac 2 {\sqrt{1+x^m}+\sqrt{1-x^m}} = 1.\] Donc l’étude de la limite de \(f\) en \(0\) est la même que celle de la fonction \(x \mapsto x^{m-n}\).

Distinguons plusieurs cas pour la limite de \(f\) en \(0\).

Si \(m > n\) alors \(x^{m-n}\), et donc \(f(x)\), tendent vers \(0\).
Si \(m=n\) alors \(x^{m-n}\) et \(f(x)\) tendent vers \(1\).
Si \(m < n\) alors \(x^{m-n} = \frac 1 {x^{n-m}} = \frac 1 {x^k}\) avec \(k = n-m\) un exposant positif. Si \(k\) est pair alors les limites à droite et à gauche de \(\frac 1{x^k}\) sont \(+\infty\). Pour \(k\) impair la limite à droite vaut \(+\infty\) et la limite à gauche vaut \(-\infty\). Conclusion pour \(k=n-m>0\) pair, la limite de \(f\) en \(0\) vaut \(+\infty\) et pour \(k = n-m>0\) impair \(f\) n’a pas de limite en \(0\) car les limites à droite et à gauche ne sont pas égales.

exo7 609