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Soit \(b\geq 2\) un entier fixé. Démontrer que pour tout \(N\in \mathbb{N}^{\ast}\), il existe un entier \(n\in \mathbb{N}\) et des entiers \(a_0,a_1,\ldots, a_n\) appartenant à \(\{\,0,1,\ldots,b-1\,\}\) tels que ; \[N=a_0+a_1b+\cdots+a_nb^n\quad\mbox{et}\quad a_n\neq 0\]
Démontrer que pour chaque \(N\), le système \((n,a_0,a_1,\ldots, a_n)\) est déterminé par la propriété ci-dessus.
On dit que \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) sont les chiffres de l’écriture du nombre \(N\) suivant la base \(b\).