exo7 165

Soit $b\geq 2$ un entier fixé. Démontrer que pour tout $N\in \mathbb{N}^{\ast}$, il existe un entier $n\in \mathbb{N}$ et des entiers $a_0,a_1,\ldots, a_n$ appartenant à $\{\,0,1,\ldots,b-1\,\}$ tels que ; $$N=a_0+a_1b+\cdots+a_nb^n\quad\mbox{et}\quad a_n\neq 0$$

Démontrer que pour chaque $N$, le système $(n,a_0,a_1,\ldots, a_n)$ est déterminé par la propriété ci-dessus.

On dit que $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sont les chiffres de l’écriture du nombre $N$ suivant la base $b$.