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En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$, étudier les séries de termes généraux positifs ($n\geq 2$) :

$$\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{n+\alpha}{n+\beta}, & \displaystyle \frac 1{n (n^2-1)}, \\ \displaystyle \sqrt{n^4+2n+1} -\sqrt{n^4+\alpha n}, \quad \alpha \leq 2, & \displaystyle \tan \left({\frac 1 n} \right) + \ln {n^2+\frac{\sqrt n}{n^2-n}}, \\ \displaystyle \left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^{\frac n 2}, & \displaystyle \frac 1{\left(1+1/\sqrt n \right)^{n \sqrt n}}, \\ \displaystyle \frac{n^n \alpha^n}{n!}, \phantom{\int} & \displaystyle \sqrt[n]{n} -1, \\ \displaystyle n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}, & \displaystyle \int_n^{n+1/2} \frac 1{\sqrt{t^4+1}}dt, \\ \displaystyle \frac{1!+2!+\cdots+n!}{(n+k)!}, \quad k \in \Z, & \displaystyle n^{\alpha} \left[ (n+1)^{(n+1) / n} - (n-1)^{(n-1)/ n}\right], \\ \displaystyle \int_1^\infty \!\! \exp(-x^n)\,dx \text{ (indication : changer de variable $t=x^n$)}.& \end{array}$$