Injectivité évidente.

Monotonie : pour \(a<b<c\) on a \(|a-b| < |a-c|\) et \(|c-b| < |c-a|\) d’où les mêmes inégalités pour \(f(a),f(b),f(c)\) ce qui prouve que \(f(b)\) est strictement compris entre \(f(a)\) et \(f(c)\).

Continuité : soit \(a\in\R\), \(\delta>0\), \(x=a-\delta\), \(y=a+\delta\) et \(z=a-4\delta\). On a \(2\delta=|x-y|<|x-z|=3\delta\) donc \(|f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|\) et en faisant tendre \(\delta\) vers \(0^+\) : \(|f(a^-)-f(a^+)| \le |f(a^-)-f(a^-)| = 0\).

Affine : soient \(x\in\R\), \(h>0\), \(z=x+h\) et \(x-h<y<x\). On a \(|f(x)-f(y)|<|f(x)-f(x+h)|\) d’où en faisant tendre \(y\) vers \((x-h)^+\) : \(|f(x)-f(x-h)|\le|f(x)-f(x+h)|\). On obtient l’inégalité inverse en permutant \(y\) et \(z\), donc \(f(x-h)\) et \(f(x+h)\) sont équidistants de \(f(x)\) et, par injectivité de \(f\) : \(f(x) = \frac{f(x-h)+f(x+h)}2\) ce qui permet de conclure avec la continuité de \(f\).

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