Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans lui-même telle que \(f(0)=0\) et pour tout couple \((x,y)\) de \([0,1]\times[0,1]\) on ait \(\vert f(x)-f(y)\vert \geq \vert x-y\vert .\)
1
Soit \(x\) un élément de \([0,1] .\) On pose \(x_0=x\) et \(x_{n+1}=f(x_n) .\) Montrer que la suite \((x_n)_{n \in { \Nn}}\) est convergente.
2
En déduire que \(f(x)=x\) pour tout \(x\in [0,1] .\)
3
Le résultat reste-t-il vrai sans l’hypothèse \(f(0)=0 ?\)