L1 Analyse Continuité, limite et étude de fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1212

Soit ff une fonction continue de [0,1][0,1] dans lui-même telle que f(0)=0f(0)=0 et pour tout couple (x,y)(x,y) de [0,1]×[0,1][0,1]\times[0,1] on ait ∣f(x)−f(y)∣≥∣x−y∣.\vert f(x)-f(y)\vert \geq \vert x-y\vert .

1

Soit xx un élément de [0,1].[0,1] . On pose x0=xx_0=x et xn+1=f(xn).x_{n+1}=f(x_n) . Montrer que la suite (xn)n∈N(x_n)_{n \in { \Nn}} est convergente.

2

En déduire que f(x)=xf(x)=x pour tout x∈[0,1].x\in [0,1] .

3

Le résultat reste-t-il vrai sans l’hypothèse f(0)=0?f(0)=0 ?

Exercice 31V8

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