L1 Analyse Suite 6 questions

Suites et point fixe I

On considère la suite (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} définie par u0=1u_0=1 et, pour n≥0n\geq 0, un+1=unun+1u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n +1}.

1

Soit ff la fonction définie sur ]−1;+∞[]-1;+\infty[ par : f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{x+1}. Montrer que si x∈[0;1]x\in [0;1], alors f(x)∈[0;1]f(x)\in [0;1].

2

Montrer que pour tout n≥0n\geq 0, un∈[0;1]u_n\in[0;1].

3

Étudier le signe de f(x)−xf(x)-x sur ]−1;+∞[]-1;+\infty[.

4

Montrer que (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} est décroissante.

5

En déduire que (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} converge.

6

Déterminer la limite de (un)n∈N(u_n)_{n\in\N}.

Exercice bR1F

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?