Posons \(\alpha=\Arccos\frac{a}{b}\). \(\alpha\) existe car \(0<\frac{a}{b}<1\) et est élément de \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). De plus, \(a=b\cos\alpha\). Enfin, pour tout entier naturel \(n\), \(\frac{\alpha}{2^n}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\) et donc, \(\cos\frac{\alpha}{2^n}>0\). On a \(u_0=b\cos\alpha\) et \(v_0=b\) puis \(u_1=\frac{1}{2}(u_0+v_0)=\frac{b}{2}(1+\cos\alpha)=b\cos^2\frac{\alpha}{2}\) et \(v_1=\sqrt{u_1v_0}=\sqrt{b\cos^2\frac{\alpha}{2}\times b}=b\cos\frac{\alpha}{2}\) puis \(u_2=\frac{b}{2}\cos\frac{\alpha}{2}(1+\cos\frac{\alpha}{2})=b\cos\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2^2}\) et \(v_2=\sqrt{b\cos\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2^2}\times b\cos\frac{\alpha}{2}}=b\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2^2}\)... Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}\) et \(u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}\). C’est vrai pour \(n=1\) et si pour \(n\geq1\) donné, on a \(v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}\) et \(u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}\) alors,

\[u_{n+1}=\frac{1}{2}(v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}+v_n)=v_n\cos^2\frac{\alpha}{2^{n+1}}\] puis

\[v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}=v_n\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}\;(\mbox{car}\;\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}>0),\] et donc, \(v_{n+1}=b\prod_{k=1}^{n+1}\cos\frac{\alpha}{2^k}\) puis \(u_{n+1}=v_{n+1}\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}\). On a montré par récurrence que

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(v_n>0\) et \(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}<1\). La suite \(v\) est donc strictement décroissante. Ensuite, pour tout entier naturel non nul \(n\), on a \(u_n>0\) et

\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{v_{n+1}}{v_n}\frac{\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}}{\cos\frac{\alpha}{2^n}} =\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2^{n+1}}}{\cos\frac{\alpha}{2^n}} =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\cos\frac{\alpha}{2^n}}\right)>\frac{1}{2}(1+1)=1.\] La suite \(u\) est strictement croissante. Maintenant, pour \(n\in\Nn^*\),

\[\begin{align*} v_n&=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}=b\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin\frac{\alpha}{2^{k-1}}} {2\sin\frac{\alpha}{2^k}}\\ &=\frac{\sin\alpha}{2^n\sin\frac{\alpha}{2^n}} \end{align*}\] Donc, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(v_n\sim\frac{\sin\alpha}{2^n\frac{\alpha}{2^n}}=\frac{\sin\alpha}{\alpha}\), puis \(u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}\sim v_n\sim\frac{\sin\alpha}{\alpha}\). Ainsi, les suites \(u\) et \(v\) sont adjacentes de limite commune \(b\frac{\sin\alpha}{\alpha}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{\Arccos\left(\frac{a}{b}\right)}\).

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