Posons $\alpha=\Arccos\frac{a}{b}$ . $\alpha$ existe car $0<\frac{a}{b}<1$ et est élément de $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ . De plus, $a=b\cos\alpha$ . Enfin, pour tout entier naturel $n$ , $\frac{\alpha}{2^n}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ et donc, $\cos\frac{\alpha}{2^n}>0$ . On a $u_0=b\cos\alpha$ et $v_0=b$ puis $u_1=\frac{1}{2}(u_0+v_0)=\frac{b}{2}(1+\cos\alpha)=b\cos^2\frac{\alpha}{2}$ et $v_1=\sqrt{u_1v_0}=\sqrt{b\cos^2\frac{\alpha}{2}\times b}=b\cos\frac{\alpha}{2}$ puis $u_2=\frac{b}{2}\cos\frac{\alpha}{2}(1+\cos\frac{\alpha}{2})=b\cos\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2^2}$ et $v_2=\sqrt{b\cos\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2^2}\times b\cos\frac{\alpha}{2}}=b\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2^2}$ ... Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ , $v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}$ et $u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}$ . C’est vrai pour $n=1$ et si pour $n\geq1$ donné, on a $v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}$ et $u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}$ alors,

$u_{n+1}=\frac{1}{2}(v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}+v_n)=v_n\cos^2\frac{\alpha}{2^{n+1}}$ puis

$v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}=v_n\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}\;(\mbox{car}\;\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}>0),$ et donc, $v_{n+1}=b\prod_{k=1}^{n+1}\cos\frac{\alpha}{2^k}$ puis $u_{n+1}=v_{n+1}\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}$ . On a montré par récurrence que

$\forall n\in\Nn^*,\;v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}\;\mbox{et}\;u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}.$

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on a $v_n>0$ et $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}<1$ . La suite $v$ est donc strictement décroissante. Ensuite, pour tout entier naturel non nul $n$ , on a $u_n>0$ et

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{v_{n+1}}{v_n}\frac{\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}}{\cos\frac{\alpha}{2^n}} =\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2^{n+1}}}{\cos\frac{\alpha}{2^n}} =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\cos\frac{\alpha}{2^n}}\right)>\frac{1}{2}(1+1)=1.$ La suite $u$ est strictement croissante. Maintenant, pour $n\in\Nn^*$ ,

$\begin{align*} v_n&=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}=b\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin\frac{\alpha}{2^{k-1}}} {2\sin\frac{\alpha}{2^k}}\\ &=\frac{\sin\alpha}{2^n\sin\frac{\alpha}{2^n}} \end{align*}$ Donc, quand $n$ tend vers $+\infty$ , $v_n\sim\frac{\sin\alpha}{2^n\frac{\alpha}{2^n}}=\frac{\sin\alpha}{\alpha}$ , puis $u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}\sim v_n\sim\frac{\sin\alpha}{\alpha}$ . Ainsi, les suites $u$ et $v$ sont adjacentes de limite commune $b\frac{\sin\alpha}{\alpha}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{\Arccos\left(\frac{a}{b}\right)}$ .

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