Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence \[\begin{aligned} u_n & = & \frac{au_{n-1}+b}{cu_{n-1}+d} \label{eq1}\end{aligned}\]
Montrer que si la transformation homographique : \(x \mapsto y=\frac{ax+b}{cx+d}\) a deux points fixes distincts, \(\alpha\) et \(\beta\), on peut écrire la relation ([eq1]) sous la forme : \(\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta} = k\frac{u_{n-1}-\alpha}{u_{n-1}-\beta}\). Calculer \(\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\) en fonction de \(\frac{u_1-\alpha}{u_1-\beta}\).
Montrer que si la transformation homographique a un seul point fixe \(\gamma\), on peut mettre la relation ([eq1]) sous la forme : \(\frac{1}{u_n-\gamma} = \frac{1}{u_{n-1}-\gamma}+k\). Calculer \(\frac{1}{u_n-\gamma}\) en fonction de \(u_1\).
Utiliser la méthode précédente pour étudier les suites \((u_n)\) définies par :
| a) \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{4u_n+2}{u_n+3}\), | b) \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{-3u_n-1}{u_n-3}\), |
| c) \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}\), | d) \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{2u_n-1}{u_n+4}\). |
Discuter suivant les valeurs de \(u_1\) ; préciser pour quelles valeurs de \(u_1\) chaque suite est définie.