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Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence $\begin{aligned} u_n & = & \frac{au_{n-1}+b}{cu_{n-1}+d} \label{eq1} \end{aligned}$

Montrer que si la transformation homographique : $x \mapsto y=\frac{ax+b}{cx+d}$ a deux points fixes distincts, $\alpha$ et $\beta$ , on peut écrire la relation ([eq1]) sous la forme : $\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta} = k\frac{u_{n-1}-\alpha}{u_{n-1}-\beta}$ . Calculer $\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$ en fonction de $\frac{u_1-\alpha}{u_1-\beta}$ .

Montrer que si la transformation homographique a un seul point fixe $\gamma$ , on peut mettre la relation ([eq1]) sous la forme : $\frac{1}{u_n-\gamma} = \frac{1}{u_{n-1}-\gamma}+k$ . Calculer $\frac{1}{u_n-\gamma}$ en fonction de $u_1$ .

Utiliser la méthode précédente pour étudier les suites $(u_n)$ définies par :

a) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{4u_n+2}{u_n+3}$ ,	b) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{-3u_n-1}{u_n-3}$ ,
c) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}$ ,	d) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{2u_n-1}{u_n+4}$ .

Discuter suivant les valeurs de $u_1$ ; préciser pour quelles valeurs de $u_1$ chaque suite est définie.

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