Soit \(a>0\). On définit la suite \((u_n)_{n\geq 0}\) par \(u_0\) un réel vérifiant \(u_0>0\) et par la relation \[u_{n+1}= \frac12 \left( u_n+\frac{a}{u_n}\right).\] On se propose de montrer que \((u_n)\) tend vers \(\sqrt a\).
Montrer que \[{u_{n+1}}^2-a= \frac{({u_n}^2-a)^2}{4{u_n}^2}.\]
Montrer que si \(n\geq 1\) alors \(u_n \geq \sqrt a\) puis que la suite \((u_n)_{n\geq 1}\) est décroissante.
En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers \(\sqrt a\).
En utilisant la relation \({u_{n+1}}^2-a= ({u_{n+1}}-\sqrt{a})({u_{n+1}}+\sqrt{a})\) donner une majoration de \({u_{n+1}}-\sqrt{a}\) en fonction de \({u_{n}}-\sqrt{a}\).
Si \(u_1-\sqrt a \leq k\) et pour \(n\geq 1\) montrer que \[u_n - \sqrt a \leq 2\sqrt a \left( \frac k {2\sqrt a}\right)^{2^{n-1}}.\]
Application : Calculer \(\sqrt{10}\) avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant \(u_0 = 3\).