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Montrer que $${u_{n+1}}^2-a= \frac{({u_n}^2-a)^2}{4{u_n}^2}.$$

Montrer que si $n\geq 1$ alors $u_n \geq \sqrt a$ puis que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est décroissante.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt a$.

En utilisant la relation ${u_{n+1}}^2-a= ({u_{n+1}}-\sqrt{a})({u_{n+1}}+\sqrt{a})$ donner une majoration de ${u_{n+1}}-\sqrt{a}$ en fonction de ${u_{n}}-\sqrt{a}$.

Si $u_1-\sqrt a \leq k$ et pour $n\geq 1$ montrer que $$u_n - \sqrt a \leq 2\sqrt a \left( \frac k {2\sqrt a}\right)^{2^{n-1}}.$$

Application : Calculer $\sqrt{10}$ avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant $u_0 = 3$.